Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Вычисление интеграла по области, занимаемой элементарным зарядом Поскольку считается, что заряд сокращается в размерах вдоль направления своего движения (примем, что заряд движется вдоль оси х), то вполне естественно предположить, что функция, описывающая плотность заряда, которая вначале была сферически симметричной, преобразуется при переходе к движущейся системе координат

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье

Теория рядов Фурье первоначально была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что ряды Фурье широко используются для поиска решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных.

В настоящем разделе мы расмотрим приложение рядов Фурье к решению некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к решению трех наиболее популярных типов уравнений математической физики:

Пример 1

 

Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями .


Решение.
Мы будем использовать разложение по нечетным гармоникам для построения неоднородного решения уравнения с заданными граничными условиями. Опираясь на результаты примера 3 раздела Определение ряда Фурье и типичные примеры, можно записать правую часть уравнения в виде ряда
     
Предположим, что решение уравнения имеет вид
     
Подставляя это в само уравнение, получаем соотношение
     
Поскольку коэффициенты при каждой гармонике в левой и правой части должны быть равны друг другу, получаем алгебраическое уравнение
     
Следовательно, решение исходного дифференциального уравнения описывается рядом
     

  Пример 2 Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.


Решение.
Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье:
     
Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой
     
Предполагая, что решение уравнения представляется рядом Фурье
     
найдем выражение для производной:
     
Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем
     
Поскольку данное равенство справедливо при всех значениях n, то получаем следующее соотношение:
     
Здесь cn и k − известные числа. Следовательно, решение выражается формулой

     

 

Пример 3 Используя разложение в ряд Фурье, решить одномерное уравнение теплопроводности

     
с граничными условиями Дирихле: Т = Т1 при x = 0, и Т = Т2 при x = L. Начальное распределение температуры задано функцией .

Решение.
Сначала мы определим стационарное распределение температуры при заданных граничных условиях.
Рассмотрим уравнение . Интегрируя его, найдем общее решение:
     
Коэффициенты C1 и C2 найдем из граничных условий: Т0 (0) = Т1, Т0 (L) = Т2. В результате получаем
     
Построим теперь решение задачи, зависящее от времени .
Введем новую переменную
     
Граничные условия для y (x,t) принимают вид:
     
а начальное распределение записывается в форме
     
Принимая во внимание новые граничные условия, будет естественным искать решение в виде разложения по нечетным гармоникам. Тогда
     
где коэффициенты bn находятся по формуле
     
(Мы предполагаем, что эти коэффициенты известны.)

Общее решение будем искать в виде ряда с коэффициентами cn (t), зависящими от времени:
     
Очевидно, что граничные условия y (0,t) = 0 и y (L,t) = 0 выполняются при любых значениях времени t > 0.
Начальные условия для cn (t) имеют вид
     
Подставим эти выражения в уравнение теплопроводности . Тогда
     
Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем на интервале [0, L], используя соотношения ортогональности
     
В результате получаем
     
или
     
Решая полученное обыкновенное дифференциальное уравнение, находим cn (t):
     
где − постоянная, зависящая от начальных условий.
Учитывая, что cn (0) = bn, получаем решение для cn (t) в форме
     
Следовательно, окончательное решение уравнения теплопроводности выражается формулой
     

Пример 4 Найти решение волнового уравнения

     
для струны с закрепленными концами с граничными условиями u (0,t) = u (L,t) = 0. Начальное смещение и скорость заданы в виде
     
где f (x) и g (x) − некоторые функции, которые считаются известными в данной задаче. При этом должны быть выполнены соотношения
     

Решение.
Будем искать все периодические решения задачи, в которых разделяются переменные x и t, т.е. в форме
     
Тогда
     
Подставляя это в волновое уравнение, получаем
     
В последней записи функция в левой части зависит только от x, а функция в правой части − только от t. Это возможно, если только обе части уравнения равны некоторой константе. Следовательно,
     
Если константа α положительная, то полагая , получим уравнение
     
с общим решением
     
Такое решение не содержит периодических функций по t. Поэтому рассмотрим вариант, когда константа α отрицательна: . В этом случае волновое уравнение расщепляется на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
     
Решая первое уравнение, находим
     
где C1 и C2 − постоянные интегрирования.
Учитывая граничные условия, получаем
     
Тогда
     
Полагая C2 ≠ 0 (в противном случае мы бы получили тривиальное решение X ≡ 0), находим, что (n − целое число).

Следовательно, так называемые собственные значения равны
     
Соответствующие им собственные функции записываются в виде
     
При λ = λn второе уравнение имеет решение
     
Таким образом, можно записать, что
     
Здесь n − целое число, а An и Bn − постоянные, зависящие от начальных условий.

Теперь мы можем построить общее решение волнового уравнения как линейную комбинацию частных решений:
     
Предполагая, что этот ряд дифференцируемый, запишем выражение для производной:
     
Теперь из начальных условий определим постоянные An и Bn:
     
Видно, что функции f (x) и f (x) следует разложить по ортогональной системе . По формулам для коэффициентов Фурье получаем
     
Таким образом, решение волнового уравнения с заданными граничными и начальными условиями имеет вид
     
где коэффициенты An и Bn определяются приведенными выше формулами.

Первый член ряда u1(x,t) называется основной частотой , остальные члены un(x,t) − обертонами или гармониками . Период и частота гармоники определяются формулами
     

   Пример 5 Найти решение уравнения Лапласа

     
в круге c граничным условием
     

Решение.
Будем искать решение в полярных координатах (r,φ). Взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами определяется стандартными формулами (рисунок 1):
     
Рис.1
Решением задачи будет функция u(r,φ), зависящая от переменных r и φ. Очевидно, u(r,φ) является 2π-периодической функцией по φ. При этом граничная функция f (x,y) преобразуется в функцию f (φ), зависящую только от переменной φ.

Уравнение Лапласа в полярных координатах записывается в виде
     
Будем искать решение u(r,φ) в виде ряда Фурье
     
где коэффициенты Фурье an (r) и bn (r) зависят от радиуса r.

Предполагая, что функция u(r,φ) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по r и φ, получаем следующие выражения для производных:
     
Подставляя это в уравнение Лапласа, находим
     
Поскольку это выражение равно нулю при всех r и φ, то приходим к выводу, что
     
Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в 1822). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо.

Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида
     
Здесь постоянные an (1) и bn (1) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию , определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим
     
Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах cos nφ и sin nφ, получаем соотношения
     
Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение
     
Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде
     
где αn, βn − известные числа, зависящие от граничных условий.

Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов αn, βn:
     
Заметим, что
     
Поэтому
     
Используя формулу , можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
     
Тогда решение будет определяться формулой
     

Полученное выражение называется интегралом Пуассона для единичного круга.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Исследовать на сходимость ряд .

Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Вычислить сумму ряда .

Сходимость рядов. Признаки сравнения Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

Неопределённость ¥-¥ также можно свести к предыдущим случаям: если f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а, то . Дробь  даёт неопределённость . Если , получаем неопределённость , в других случаях неопределённость отсутствует. И здесь часто поступают по другому. Пример: . Чтобы избавиться от иррациональностей, перейдём к переменной у, связанной с х соотношением . При х®1 и у®1, поэтому 

4.5.3.5. Показательно-степенные неопределённости  сводятся к неопределённости  следующим образом:  (убедитесь, что во всех трёх случаях в показателе экспоненты получится неопределённость ). Однако неопределённости  ("типа е") часто сводят непосредственно ко второму замечательному пределу: пример 1.

Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье