Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Для оценки точности в этом случаи используют метод двойного пересчета, который заключается в следующем: 1. Вычисляется интеграл с разбиением на n интервалов Увеличивают количество интервалов в два раза и получают новое приближение Чтобы определить как новое вычисленное значение отличается от истинного значения применяют правило Рунге: Для методов трапеции и прямоугольников

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа
Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя .

Неопределенности типа
Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем
     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
     
(Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.)

Аналогично,
     
Таким образом, предел равен
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Подстановка показывает, что функция имеет неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на x3 (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем

     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.
Перепишем знаменатель в виде
     
и разложим его как разность кубов:
     
В результате можно найти предел:
     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену переменной: . Тогда . Получаем
     
Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения . В результате находим значение предела

     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Если , то
     
Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение.
     
Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:
     

Пример 7 Найти предел .


Решение.
Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Разделим числитель и знаменатель на x30 (x в наивысшей степени). Получаем
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Используя формулы
     
преобразуем предел и найдем его значение:
     

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Пусть . Тогда при . Следовательно,
     

Пример 11 Найти предел .


Решение.
Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение . Получаем
     
Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при . Следовательно, разделим числитель и знаменатель на - то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда
     

 

  Пример 12 Найти предел .


Решение.
Используя тригонометричское тождество , перепишем предел в следующем виде
     
В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при . Поэтому, окончательный ответ равен      

Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию на непрерывность.

Геометрическая прогрессия Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).    

Правило Лопиталя Вычислить предел . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n£ x <n+1. Если x ®+¥, то и n®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства  вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим . Предел правого члена при n®¥ равен числу е, предел левого  тоже равен числу е. По теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции $, и он тоже равен числу е. Далее, , и снова применяя теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции, получаем, что  существует и равен числу е.

Пусть теперь x ®-¥. Введём новую переменную y=-x-1,тогда x=-y-1, и y®+¥ при x ®-¥. . Доказано, что односторонние пределы при x ®±¥ существуют и равныÞ(по теор. 4.4.1) $.

4.4.7.2.1. Эквивалентная форма второго замечательного предела:  (сводится к предыдущему случаю заменой ).

4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.

4.4.7.3.1. . Док-во:  .

4.4.7.3.2. . Док-во:  . (Здесь мы пользуемся непрерывностью функции .) Следствие: 4.4.7.3.2.1. .

4.4.7.3.3. . Док-во: заменим переменную  .

Следствие: 4.4.7.3.3.1.

Программа вычисления интегралов с заданной точностью. Оценка точности будет производится по формуле Рунге: Алгоритм заключается в сравнении значений интеграла вычисленных с одним и двумя интервалами разбиения, затем с двумя и четырьмя интервалами, потом четырьмя и восьмью и т.д. пока разница между этими значениями не станет меньше заданной точности. Для записи этого алгоритма используем цикл WHILE.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье