Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Для оценки точности в этом случаи используют метод двойного пересчета, который заключается в следующем: 1. Вычисляется интеграл с разбиением на n интервалов Увеличивают количество интервалов в два раза и получают новое приближение Чтобы определить как новое вычисленное значение отличается от истинного значения применяют правило Рунге: Для методов трапеции и прямоугольников

Непрерывность функций

Определение непрерывности по Гейне
Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке
( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что
выполняется соотношение
На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :
  1. Функция f (x) определена в точке x = a;
  2. Предел существует;
  3. Выполняется равенство .
Определение непрерывности по Коши (нотация )
Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению
выполняется неравенство
Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции
Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство
где .

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Теоремы непрерывности
Теорема 1.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке x = a, и C является константой. Тогда функция Сf (x) также непрерывна при x = a.

Теорема 2.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.

Теорема 3.
Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функций f (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.

Теорема 4.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций также непрерывно при x = a при условии, что .

Теорема 5.
Предположим, что функция f (x) является дифференцируемой в точке x = a. Тогда функция f (x) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, что
для всех x в интервале [a, b] (смотрите рисунок 1).

Рис.1
Рис.2
Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b]. Тогда, если c − некоторое число, большее f (a) и меньшее f (b), то существует число x0, такое, что
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

Непрерывность элементарных функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:
  1. Алгебраические многочлены ;

  2. Рациональные дроби ;

  3. Степенные функции ;

  4. Показательные функции ;

  5. Логарифмические функции ;

  6. Тригонометрические функции ;

  7. Обратные тригонометрические функции ;

  8. Гиперболические функции ;

  9. Обратные гиперболические функции .

 

  Пример 1 Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция непрерывна в произвольной точке x = a.


Решение.
Условие непрерывности по Гейне можно записать в виде
     
где Δx и Δy − малые приращения, показанные на рисунке 3. Для заданной функции справедливы следующие соотношения в точке x = a:
     
Следовательно,
     
Вычислим предел.
     
Таким образом, функция является непрерывной в произвольной точке x = a.
Рис.3
Рис.4

 

Пример 2 Используя определение непрерывности в терминах приращений, показать, что функция непрерывна в любой точке своей области определения.


Решение.
Функция секанс определена для всех действительных x, за исключением точек
     
где косинус равен нулю. Обозначим дифференциал независимой переменной x через Δx. Вычислим соответствующий дифференциал функции Δy.
     
Перейдем к пределу при .
     
Полученный результат справедлив для всех x за исключением нулей косинуса:
     

Следовательно, область непрерывности и область определения функции совпадают.

   Пример 3

Используя определение непрерывности по Коши, доказать, что .


Решение.
Пусть . Мы должны найти некоторое число , такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству
     
будет выполнено соотношение
     
Последнее неравенство можно записать в виде
     
Следовательно,
     
Отсюда следует неравенство для абсолютного значения :
     
Таким образом, если мы выберем , то для всех x, удовлетворяющих неравенству , получим . Например, если ε = 0.1, то . Это означает по определению Коши, что
     

  Пример 4
Показать, что кубическое уравнение имеет решение в интервале (2,3).


Решение.
Пусть . Вычислим значения функции при x = 2 и x = 3.
     
Мы получили, что f (2) < 0 и f (3) > 0, или
     

По теореме о промежуточном значении это означает, что в интервале (2,3) существует такое число c, что . Таким образом, данное уравнение имеет решение в интервале (2,3).


  Пример 5 Показать, что уравнение имеет, по крайней мере, один корень.


Решение.
Поскольку функция является полиномом, то она непрерывна. Заметим, что
     

Поэтому . По теореме о промежуточном значении можно сделать вывод, что в интервале (0,1) существует число c, такое, что . Таким образом, уравнение имеет корень в интервале (0,1).

   Пример 6 Задана функция

     
Определить коэффициенты a и b, при которых функция f (x) является всюду непрерывной.

Решение.
Найдем левосторонний предел функции в точке x = 0.
     
Следовательно, значение ax + b в точке x = 0 должно быть равно 2.
     
Аналогично, находим правосторонний предел при x = 1.
     
Как видно, значение ax + 2 в точке x = 1 должно быть равно 4.
     
При данных значениях a и b функция f (x)

будет непрерывной. График функции схематически показан

   Пример 7 Если функция

     
непрерывна, то чему равно a?

Решение.
Вычислим левосторонние и правосторонние пределы функции при x = −1.
     
Функция будет непрерывной в точке x = −1, если
     
Следовательно,      

Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Ограниченность непрерывных на отрезке функций Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.

Определение предела функции Используя - определение предела, показать что .

 Аналогично изложенному выше, с заменой (х-а)k на , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х®¥.

Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):

1. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

2. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=2 – порядок малости f(x) при х®¥ по сравнению с .

3. . С помощью формул 4,6 таблицы 4.4.10 представим f(x) в виде . Здесь , , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

4. . Так как f(-2) = 0, то , и многочлен  делится на х + 2 без остатка. Произведя деление, получим . Так как и f1(-2) = 0, то , поэтому , где . Результат: ,  - главная часть f(x), k=2 – порядок малости f(x) при х®-2.

5. . ~, где . Поэтому ,  - главная часть , k=5/6 (относительно БМ ) при .

В следующих задачах решение излагается более кратко.

6.

7. .

8. .

9.

  Неаккуратность при решении последнего примера даст результат

  верный, но бесполезный.

10. Пусть х ®+0. Тогда

 

 Если рассматривается случай х®а ¹ 0, часто полезно сделать замену переменной у= х-а.

Программа вычисления интегралов с заданной точностью. Оценка точности будет производится по формуле Рунге: Алгоритм заключается в сравнении значений интеграла вычисленных с одним и двумя интервалами разбиения, затем с двумя и четырьмя интервалами, потом четырьмя и восьмью и т.д. пока разница между этими значениями не станет меньше заданной точности. Для записи этого алгоритма используем цикл WHILE.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье