Заказать  курсовую

Заказать курсовую

 

Туризм, путешествия: Бронирование отелей

Туризм, путешествия: Бронирование отелей

Интернет-магазин одежды и обуви Lamoda

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

ТехносилаТехносила

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Гироскутер SmartWay

Не успел написать курсовую? Закажи ее здесь! Низкие цены - высокое качество

Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 11. Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Решение. Так же, как и в предыдущем примере, перейдем от несобственного интеграла к определенному под знаком предела.

Замечание: когда , то .

Поэтому получаем, что , а это значит, что данный интеграл расходится.

Поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором

Предполагается, что функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D(u,v), и что ранг матрицы
равен 2.

Обозначим через единичный нормальный вектор к поверхности S в точке
(x,y,z). Если поверхность S гладкая и векторная функция непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора:
Выбор одного из них называется ориентацией поверхности.

Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной.

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм: Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:
Если поверхность S задана явно в виде уравнения
z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм: Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) являются компонентами векторного поля . Введем cos α, cos β, cos γ − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Тогда скалярное произведение равно
Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде
Поскольку (рисунок 1), и, аналогично, , получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода:
Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора , то последняя формула принимает вид
где
(u,v) изменяются в пределах области интегрирования D(u,v).
Рис.1
Если поверхность S не представима в явном или параметрическом виде, то ее можно попробовать разбить на конечное число частей, каждая из которых представима в таком виде. В этом случае справедливо свойство аддитивности: поверхностный интеграл второго рода по поверхности S будет равен сумме интегралов по ее частям.

Пример 1 Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .


Решение.
Применим формулу
     
Поскольку
     
то поверхностный интеграл можно записать в виде
     
В результате простых вычислений находим ответ:
     

Пример 2 Найти интеграл от векторного поля по поверхности S, заданной в параметрической форме вектором .


Решение.
Сначала найдем частные производные.
     
Отсюда следует, что
     
Следовательно, векторный элемент площади равен
     
Так как , то векторное поле можно представить в виде:
     
Тогда исходный поверхностный интеграл равен

     

Пример 3 Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.


Решение.
Поверхность конуса можно описать вектором :
     
Область интегрирования
D(x,y) представляет собой круг .
Найдем векторный элемент площади , перпендикулярный поверхности и направленный во внешнюю сторону. Определим частные производные:
     
Тогда
     
и векторный элемент равен
     
Векторное поле на поверхности конуса можно записать в виде
     
Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен
     
Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.
     

Пример 4 Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .


Решение.
Запишем уравнение единичной сферы в сферических координатах:
     
где . В результате вектор на заданной поверхности можно записать в виде
     
Вычислим векторный элемент площади . Частные производные равны
     
Следовательно,
     
Таким образом, получаем
     
(Этот вектор соответствует внутренней ориентации поверхности.) Находим поток векторного поля через заданную поверхность (или поверхностный интеграл второго рода):
     

 

Пример 5 Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде . Параметры u,v изменяются в интервале .


Решение.
Воспользуемся формулой
     
Поскольку
     
определитель может быть записан в виде
     
Следовательно, поверхностный интеграл равен
     

Пример 6 Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .


Решение.
Запишем компоненты векторного поля :
     
Уравнение сферы удобно преобразовать в сферические координаты:
     
где . Применим формулу
     
Так как
     
то определитель под знаком двойного интеграла будет равен
     
Это значение соответствует внутренней ориентации поверхности.

Искомый поверхностный интеграл будет равен
     
Вычислим последние два интеграла отдельно.
     
Следовательно, поверхностный интеграл имеет значение
     

Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .

Тройные интегралы в декартовых координатах Вычислить интеграл       где область U расположена в первом октанте ниже плоскости 3x + 2y + z = 6.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл       где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

Тройные интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему.

Опр.4.4.2. Пусть {xn | xnÎX, xn ¹a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {xn} последовательность значений функции { f(xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при x®а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2.

Утв.1. Если  в смысле опр. 4.4.1, то число b - предел f(x) при x®а и в смысле опр. 4.4.2.

Док-во. Пусть {xn} сходится к а, требуется доказать, что { f(xn)} сходится к b, т.е. что для "e>0 $N: n>N Þ | f(xn)-b |<e (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём "e>0. $d: 0<| x-a |<d Þ | f(x)-b |<e. Так как xn®а при n ®µ, то $ N: n>N Þ | xn-a |<dÞ

|f(xn)-b |<e. Нужное N найдено.

Утв.2. Если  в смысле опр. 4.4.2, то число b - предел f(x) при x®а и в смысле опр. 4.4.1.

Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность {xn}, сходящуюся к а, для которой { f(xn)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то $e>0, для которого в любой проколотой d-окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f(x)-b |>e. Возьмём d1=1. $ x1¹а: 0<| x1-a |<d1, но | f(x1)-b |>e. Возьмём d2<min{1/2, | x1-a |}. $ x2: 0<| x2-a |<d2, но |f(x2)-b |>e. Возьмём d3<min{1/3, | x2-a |}. $ x3: 0<| x3-a |<d3, но |f(x3)-b |>e. Вообще на n-ом шаге возьмём dn<min{1/n,

|xn-1-a |}. $ xn: 0<| xn-a |<dn, но |f(xn)-b |>e, и т.д. Мы получили, что xn®а при n®µ (так как

| xn-a |<1/ n), но | f(xn)-b|>e, т.е. { f(xn)} не сходится к b. Противоречие получено.

Если местоположение и длина интервалов определяется путем анализа, сначала определяется количество интервалов, а затем в соответствии с требованием достижения наибольшей точности точки внутри интервалов через которые проходит приближающая функция, то получаются методы Гаусса. Стоит отметить, что наиболее оптимальным методом по соотношения простоты / точность является все же метод парабол(Симпсона).
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье