Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса,
где через
обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности.

Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.

Данную формулу можно записать также в координатной форме:
В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

Пример 1 Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .


Решение.
Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать
     
Вычислим полученный тройной интеграл в сферических интегралах.
     

Пример 2 Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1 (рисунок 1).


Решение.
В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса,
     
Вычисляя в цилиндрических координатах, получаем ответ:
     
Рис.1
Рис.2

Пример 3 Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.


Решение.
Данное тело схематически изображено на рисунке 2. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, можно записать
     
Переходя к цилиндрическим координатам, получаем
     

Пример 4 Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S является поверхностью тетраэдра с вершинами O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (рисунок 3).


Решение.
По формуле Остроградского-Гаусса,
     
Вычислим полученный тройной интеграл. Уравнение прямой AB имеет вид
     
А уравнение плоскости ABC равно
     
Находим значение интеграла:
     
Рис.3
Рис.4

Пример 5 Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3 (рисунок 4).


Решение.
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:
     

Пример 6 Найти интеграл , где S − внешняя поверхность пирамиды (рисунок 5).


Решение.
Рис.5
Рис.6
Применяя формулу Остроградского-Гаусса можно записать искомый поверхностный интеграл в виде
     
Вычислим тройной интеграл. Область интегрирования в плоскости xy показана на рисунке 6. Полагая z = 0, получаем
     
Следовательно, область D можно представить в виде множества
     
Решая неравенство относительно переменной z, получаем
     
Тогда интеграл равен

Примеры неэлементарных функций:

 Функция Е(х) - целая часть х - наибольшее целое число, не превосходящее х (график справа);

Функция Дирихле:

 

Функция Римана:

График функции Римана на отрезке [1,2] качественно изображён справа (построены рациональные точки со знаменателями ). Основной факт, который очевиден из рисунка и который нам понадобится в дальнейшем – при любом e>0 выше линии у=e лежит не более чем конечное число точек графика.

 Напомним терминологию, применяемую для описания свойств функций.

 Опр.4.1.3. Функция называется ограниченной сверху на множестве Х, если существует такое число М, что для любого xÎX выполняется неравенство f(x)£М.

В краткой форме записи: f(x) ограничена сверху на ХÛ {$МÎ" xÎX f(x)£М}.

 Опр.4.1.4. f(x) ограничена снизу на ХÛ {$МÎ" xÎX f(x)³ М}.

 Опр.4.1.5. f(x) ограничена на ХÛ {$МÎ" xÎX | f(x)|£ М}. (Другими словами,

£ f(x)£ М, т.е. f(x) ограничена и сверху и снизу).

  Опр.4.1.6. f(x) возрастает (не убывает) на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)£ f(x2)}.

 Опр.4.1.7. f(x) строго возрастает на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)< f(x2)}.

 Опр.4.1.8. f(x) убывает (не возрастает) на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)³ f(x2)}.

 Опр.4.1.9. f(x) строго убывает на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)> f(x2)}.

 Опр.4.1.10. f(x) монотонна на Х, если она или возрастает, или убывает на Х.

 Опр.4.1.11. f(x) строго монотонна на Х, если она или строго возрастает, или строго убывает на Х.

Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье