Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:

Криволинейные интегралы второго рода

Определение
Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции
представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Рис.1
Рис.2
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции
существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как
Таким образом, по определению,
где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:
где .

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
  1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
  2. Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то
  3. Если кривая C задана параметрически в виде , то
  4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде

 

Пример 1 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .


Решение.
Используя формулу
     
находим ответ:

     

Пример 2 Найти интеграл вдоль кривой C, заданной уравнением , от точки (0,0) до (2,8).


Решение.
Для вычисления данного криволинейного интеграла воспользуемся формулой
     
Подставляя и в подынтегральное выражение, получаем
     

Пример 3 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3 ниже).


Решение.
Используем формулу
     
Подставляя и в подынтегральное выражение, находим ответ:
     

Пример 4 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3).


Решение.
Если , то по формуле
     
получаем
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 5 Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале (рисунок 4).


Решение.
Поскольку , то дифференциал равен . В соответствии с формулой
     
находим решение
     

Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга окружности, лежащая в первом квадранте, обход которой осуществляется против часовой стрелки (рисунок 5).


Решение.
Очевидно, что дуга окружности описывается функцией , a − радиус окружности. (Мы взяли положительное значение корня, поскольку y > 0 в первом квадранте.) Тогда дифференциал равен
     
Поскольку мы обходим кривую в направлении против часовой стрелки, то верхний и нижний пределы интегрирования равны, соответственно, a и 0. Следовательно,
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 7 Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .


Решение.
Запишем все выражения через параметр t:
     
Далее, используя формулу
     
можно записать
     

Пример 8 Найти интеграл вдоль линии C, представляющей собой отрезок прямой от точки A (1,1,1) до точки B (2,3,4) (рисунок 7).


Решение.
Сначала составим уравнение прямой AB.
     
Введем параметр t:
     
и перепишем уравнение прямой в параметрической форме:
     
Далее применяем формулу
     
Очевидно, что параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен
     
Рис.7

Свойства нижней грани:

Пусть М*= inf X - нижняя грань множества Х. Тогда

3.4.2. Для "хÎХ выполняется неравенство х ³ М*.

3.4.3. Любое число, большее М*, не будет нижней границей множества Х, т.е. для "e>0 $xÎX такой, что х< М*+e.

4. Предел функции одной переменной.

4.1. Определение функции. Терминология.

  Пусть Х, Y - некоторые множества.

Опр.4.1.1. Функцией называется любое правило (закон), которое каждому элементу хÎХ ставит в соответствие определённый элемент уÎ Y.

 Обозначение функциональной зависимости: y = f(x) или f : X®Y. Множество Х называется областью определения функции, множество Yf = f(X) = {y| y = f(x), xÎX}ÍY - областью значений функции. (Смысл записи f : X®Y состоит в том, что функция y = f(x) отображает множество Х в множество Y. Если образ множества X при отображении f : X®Y полностью "накрывает" множество Y, т.е. Yf = Y, то отображение f : X®Y называется отображением Х на Y. Так, функция y = x2 отображает отрезок [ 1, 2] в отрезок [ 1,10] и на отрезок[ 1, 4]).

  В этом семестре мы будем рассматривать действительнозначные функции одной действительной переменной, т.е. XÍR, YÍR. Множество точек {(x,y)| xÎX, y = f(x)} на плоскости будем называть графиком функции y = f(x).

 Обычно перечисляются следующие способы задания функции: аналитический, графический, табличный.

  Введем важное определение суперпозиции функций:

Опр.4.1.2. Пусть даны функции j : Т®Х и f : X®Y. Функция F : Т®Y, ставящее в соответствие элементу tÎT элемент уÎ Y по правилу y=f(j(t)), называется суперпозицией функций f и j (или сложной функцией).

 Так, функция y=sin(x5) есть суперпозиция функций z= x5 и y=sin(z).

 Предполагается, что студенты знают свойства и графики основных элементарных функций (степенной y = xa; показательной y = ax, a>0, a¹1; логарифмической y = loga x, a>0, a¹1; тригонометрических y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x; обратных тригонометрических y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x) и умеют строить эскизы графиков элементарных функций (функций, получающихся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций). К основным функциям отнесём также гиперболические функции: синус гиперболический y = sh x, косинус гиперболический y = ch x, тангенс гиперболический y = th x, котангенс гиперболический y = cth x и обратные им арксинус гиперболический y = ar sh x, арккосинус гиперболический y = ar ch x, арктангенс гиперболический y = ar th x, арккотангенс гиперболический y = ar cth x, основные сведения о которых будут приведены ниже.

Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье