Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:

Криволинейные интегралы первого рода

Определение
Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1
Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
  1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

  2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
  3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
  4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
  5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
  6. В полярных координатах интеграл выражается формулой
    где кривая C задана в полярных координатах функцией .

Пример 1 Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).


Решение.
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 2 Вычислить интеграл , где C − дуга окружности .


Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой:
     
Тогда, применяя формулу
     
в плоскости Oxy, получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .


Решение.
Используем формулу
     
Здесь
     
Следовательно,
     

   Пример 4 Вычислить интеграл , где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше).


Решение.
Найдем сначала уравнение отрезка OA.
     
Применяя формулу
     
находим искомый криволинейный интеграл.

     

Пример 5 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .


Решение.
Применяя формулу
     
можно записать
     

Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5).


Решение.
Найдем уравнение отрезка AB.
     
По формуле
     
находим данный интеграл
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 7 Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок 6).


Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме.
     
Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле
     
заданный интеграл преобразуется следующим образом
     
Сделаем замену. Положим . Тогда
     
Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным
     
Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной.
     
Если u = 0, то , и соответственно, если u = a, то . Таким образом,      

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Криволинейные интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Теорема Остроградского-Гаусса Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Определения.

3.4.1. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х<М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М). Число М называется верхней границей множества Х.

3.4.2. Если существует число mÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х>m, то множество Х называется ограниченным снизу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х.

3.4.3. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство |х|<М, то множество Х называется ограниченным.

Теорема 3.4.1. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу.

Если множество Х ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число М - верхняя граница, то верхними границами будут числа М+1, М+2 и т.д.). Обозначим У множество верхних границ множества Х. Множество У ограничено снизу (любым элементом множества Х).

Возможны два случая: либо множество Х имеет максимальный элемент (например, если

Х – отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество Х не имеет максимального элемента (например, если Х = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент.

Определение 3.4.4. Точной верхней границей, или верхней гранью, множества Х, ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество Х не имеет максимального элемента.

Для обозначения применяются: символы sup X или sup{x}.

Свойства верхней грани:

Пусть М*= sup X - верхняя грань множества Х. Тогда

3.4.2. Для "хÎХ выполняется неравенство х £М*.

3.4.3. Любое число, меньшее М*, не будет верхней границей множества Х, т.е. для "e>0 $xÎX такой, что х> М*-e.

Аналогичным образом, если множество Х ограничено снизу, то множество его нижних границ бесконечно. Обозначим Z множество нижних границ множества Х. Множество Z ограничено сверху (любым элементом множества Х).

Определение 3.4.5. Точной нижней границей, или нижней гранью, множества Х, ограниченного снизу, называется минимальный элемент этого множества, если он существует, и максимальный элемент множества нижних границ, если множество Х не имеет минимального элемента.

Для обозначения применяются: символы inf X  или inf{x}.

Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье