Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

1. Интегралы вида
Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:
2. Интегралы вида
Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:
  1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .


  2. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .


  3. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла
    чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида
Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения и формулы редукции
4. Интегралы вида
Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции
5. Интегралы вида
Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:
6. Интегралы вида
Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы
7. Интегралы вида
  1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.


  2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.


  3. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида
  1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.


  2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.


  3. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Пусть u = cos x, du = − sin xdx. Тогда
     

Пример 2 Вычислить .


Решение.
Делая замену u = sin x, du = cos xdx и используя соотношение , получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Применив соотношения и , можно записать
     
Вычислим интегралы в полученном выражении.
     
Чтобы найти интеграл , сделаем замену u = sin 2x, du = 2cos 2xdx. Тогда
     
Следовательно, исходный интеграл равен
     

Пример 4 Найти интеграл .


Решение.
Перепишем интеграл в виде
     
Преобразуем подынтегральное выражение с помощью соотношений
     
Получаем
     

  Пример 5 Найти интеграл .


Решение.
Делая замену u = cos x, du = − sin xdx и выражая синус через косинус с помощью формулы , получаем
     

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Преобразуем подынтегральное соотношение по формуле
     
Следовательно,
     
Тогда интеграл равен
     

Пример 7 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем для преобразования интеграла соотношение . Получаем
     

Пример 8 Вычислить интеграл .


Решение.
Используя соотношение , находим
     

Пример 9 Вычислить .


Решение.
Используем формулу редукции
     
Следовательно,
     
Интеграл является табличным и равен . (Он легко вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки .) В результате интеграл равен
     

Пример 10 Вычислить интеграл .


Решение.
Применяя к подынтегральной функции формулу редукции
     
получим
     

Пример 11 Найти интеграл .


Решение.
     

Пример 12 Найти интеграл .


Решение.
Выразим тангенс через секанс с помощью соотношения . Тогда интеграл принимает вид
     

Поскольку (см. пример 9), а интеграл является табличным и равен , то получаем окончательный ответ в виде      

 Опр. 4.3.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует такое натуральное число N (зависящее от e), что для членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | an - a |<e.

Обозначения: ; ;  при .

Если   при , то говорят также, что последовательность  сходится к числу а.

Краткая форма записи определения: .

Неравенство |an - a|<e эквивалентно двустороннему неравенству -e< an - a <e или a-e< an <a+e. Таким образом, смысл неравенства | an - a |<e заключается в том, что для "e>0 мы можем найти такое N, что все точки an с номерами индексов n>N лежат внутри интервала Ue(a) =


(a-e,a+e), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности. Докажем, например, что последовательность  при  сходится к двум. Возьмём "e>0. Требуется доказать, что существует такое N=N(e), что при n>N выполняется неравенство |an-a|<e, т.е. . Таким образом, если в качестве N=N(e) мы возьмём N(e)= (где Е(х)-определённая выше функция - целая часть числа х), то при n>N выполняется неравенство , что и требовалось. Расположение нескольких первых членов последовательности на числовой оси приведено на рисунке снизу. Сходимость последовательности к числу 2 выражается в том, что члены последовательности сгущаются около точки х=2.

Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье