Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:

Пример 1 Найти интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку:
     
Вычислим интеграл

     

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем следующую подстановку:
     
Тогда интеграл (обозначим его как I ) равен
     
Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь.
     
Находим искомый интеграл:

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в виде
     
Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену:
     
Получаем новый интеграл
     
Сделаем еще одну замену:
     
Находим окончательный ответ:
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Запишем интеграл в более удобном виде:
     
Сделаем подстановку:
     
Интеграл через новую переменную u имеет вид
     
Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель.
     
Окончательно получаем

     

 

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Перепишем интеграл в виде
     
Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку
     
Интеграл принимает вид
     
Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби.
     
После несложных преобразований получим окончательный ответ.
     

Пример 6 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку:
     
Получаем
     

Пример 7 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем подстановку
     
Тогда интеграл равен
     

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.

Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .

Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

Справа и ниже на рисунках приведены графики прямых и обратных гиперболических функций.

 


4.3. Последовательность и её предел.

4.3.1. Определение последовательности и её предела.

 Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Примеры:

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn=1, nÎN;

3). ; nÎN;

2). ; аn=, nÎN;

4).

Обозначать последовательность мы будем либо перечислением её членов, как в приведённых примерах, либо более краткой записью , либо просто . Так как множество  счётно, его члены могут быть пронумерованы, нижний индекс как раз и обозначает номер члена последовательности. В терминах функциональной зависимости последовательность можно определить как функцию натурального аргумента n, поэтому для последовательности имеют смысл введённые выше опр.4.1.3 -4.1.11, описывающие её свойства.

Далее символом N будет обозначаться не множество натуральных чисел, а некоторый элемент этого множества, т.е. просто некоторое натуральное число.

Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье