Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим
или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда
     
Следовательно,

     

Пример 2 Проинтегрировать .


Решение.
В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx.
Тогда . Получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Пусть . Тогда , так что интеграл переписывается в виде
     
Чтобы вычислить новый интеграл, сделаем замену . В этом случае .
В результате последний интеграл становится равным
     
Отсюда находим искомый интеграл:
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем интегрирование по частям: . Полагаем . Тогда и интеграл записывается в виде
     
Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь . Следовательно, . Для первоначального интеграла получаем следующее уравнение:
     
Решая это уравнение относительно неизвестного интеграла, находим
     

Пример 5 Вывести формулу редукции (понижения степени) для .


Решение.
Используя формулу интегрирования по частям , полагаем . Тогда
     
Следовательно,
     
Решим полученное уравнение относительно . Получаем      

Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a).

Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Вычислить периметр единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

Старшие производные функции, заданной неявно, находятся последовательно, в соответствии с определением старших производных. Так, для неявно заданной зависимости у от х  мы получили . Найдём вторую производную: . Дальше можно найти третью и т.д. производные.

3. Действительные числа.

3.1. Аксиомы действительных чисел.

 Множество R={x,y,z,…} действительных чисел - множество мощности континуум, на котором определены две операции (сложение и умножение) и отношение упорядоченности (), удовлетворяющие аксиомам

 I.1. x+y=y+x;

 I.2. (x+y)+z=x+(y+z);

I.3. Существует такой элемент 0ÎR, что 0+х=х для "хÎR;

I.4. Для каждого элемента хÎR существует такой элемент - х, что х+(- х)=0;

II.1. xy=yx;

II.2. (xy)z=x(yz);

II.3. Существует такой элемент 1ÎR, что 1х=х для "хÎR;

II.4. Для каждого элемента х¹0, х ÎR существует такой элемент х-1ÎR, что х х-1=1;

III.1. x(y+z)=xy+xz;

IV.1. Отношение {()L( y £ x)} эквивалентно отношению х=у;

IV.2. Для любых двух элементов хÎR, уÎR или х£у, или у£х;

IV.3. Из  и y£z следует х£z;

IV.4. Из х£у следует х+ z £у+ z для любых х,у, z ÎR;

IV.5. Из 0£ х и 0£ у следует 0£ ху.

Отношение  записывается также в форме у³х. Отношение {()L( x¹y)} записывается в форме х<у.

  V. Аксиома непрерывности: для любых элементов хÎR, уÎR таких, что х < у, существует элемент z ÎR, такой что х< z < у.

 VI. Аксиома Архимеда: для любых элементов хÎR, уÎR таких, что 0<х, 0<у, существует такое натуральное число n, что у£ nх;

 VII. Аксиома о вложенных отрезках: если {[an, bn]} - счётная последовательность отрезков, таких что an£ an+1 и bn+1£ bn при "n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е. $ хÎR: хÎ[an, bn] для "n.

Пример 7. Найти интеграл  .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье