Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Бесконечные пределы интегрирования
Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:
Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как
Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.
В противном случае интегралы расходятся.

Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение
Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится.

Теоремы сравнения
Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞).
  1. Если сходится, то также сходится;

  2. Если расходится, то также расходится;

  3. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции
Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде
Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда
Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.

Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение
и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Пример 1 Определить, при каких значениях k интеграл сходится.


Решение.
Используя определение несобственного интеграла, можно записать
     
Из этого выражения видно, что существует 2 случая:

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
     
Следовательно, данный интеграл сходится.

Пример 3 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
Заметим, что для всех x ≥ 1.

Поскольку интеграл сходится (смотрите пример 1), то искомый интеграл также сходится по теореме сравнения 1.

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов:
     
По определению несобственного интеграла получаем
     
Исследуем первый интеграл.
     

Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится.

Пример 5 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
Запишем интеграл в виде следующей суммы:
     
Используя определение несобственного интеграла, получаем
     

Как видно, оба предела существуют и конечны. Следовательно, искомый интеграл сходится.

 Опр.6.3. Главная часть приращения Dу дифференцируемой функции, линейная относительно приращения Dх аргумента (т.е. ), называется дифференциалом функции и обозначается dy (или df(x)).

Связь между дифференцированием и дифференцируемостью даёт 

Теор.6.4. Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х конечную производную

y' = f'(x), необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.

 Док-во. Необходимость. Пусть в точке х существует конечная производная y'. По теор.6.2 о приращении функции, имеющей производную, Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0. Сравнивая это выражение с определением 6.2, делаем вывод: А= у'(x), БМ a(Dх) Dх имеет более высокий порядок по сравнению с Dх, т.е. f(x) действительно дифференцируема в точке х.

 Достаточность. Пусть f(x) дифференцируема в точке х, т.е. её приращение Dу можно представить в виде , где А - не зависящая от Dх величина, a(Dх) - БМ высшего порядка по сравнению с Dх:  при Dх®0. Тогда . Следовательно, существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е. $ у'(x), и у'(x)=А.

 Таким образом, для функции одной переменной существование производной и дифференцируемость - эквивалентные свойства. При этом коэффициент А всегда равен у'(x), и выражение для дифференциала приобретает вид dy = у'(x) Dх. Для независимой переменной х принимают dх= =Dх (формально это можно обосновать так: если у=х, то у'(x)=1, и dy = dх = Dх). Итак, окончательное выражение для дифференциала имеет вид .

 Важно осознать, что в этом выражении не обязательно понимать dх как бесконечно малую, dх - произвольное не зависящее от х приращение аргумента (но именно при dх®0 и dу®0, и призведение у'(x)dх = dy становится главной частью приращения функции). Так как у'(x)=tg(a) - угловой коэффициент касательной, то геометрически дифференциал dy - это приращение ординаты касательной при смещении абсциссы на dх =Dх. Значение dy может значительно отличаться от приращения функции Dу, но при достаточно малых Dх (в окрестности точки касания) они близки (участок АВ графика функции).

Пример 7. Найти интеграл  .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье