Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Дифференциальное исчисление функции Применение производной к исследованию функций Предел последовательности Вычислить производную функции Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Вычислить двойной интеграл


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .


Решение.
Область интегрирования R представлена на рисунке 9.
Рис.9
Рис.10
Образ S данной области описывается множеством и показан на рисунке 10. Запишем исходный двойной интеграл в полярных координатах.
     
Вычислим последний интеграл с помощью интегрирования по частям:
     
Пусть . Тогда . Следовательно,
     

Двойные интегралы в произвольной области

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций . При этом выполняются неравенства и для всех . Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле

Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси Ox) ограничена графиками функций при условии, что и для всех . Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле
При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Пример 1 Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .


Решение.
Область интегрирования R задана множеством и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный:
     
Вычислим сначала внутренний интеграл.
     
Теперь найдем внешний интеграл.
     
Рис.1
Рис.2

 

Пример 2 Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .


Решение.
Область R представляется в виде множества (рисунок 2) и является областью I типа (элементарной относительно оси Oy). Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:

     

Пример 3 Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R ограничена графиками функций .


Решение.
Область R показана ниже на рисунке 3. Кривая и линейная функция пересекаются в точке (1,1). Следовательно, двойной интеграл равен
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 4 Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .


Решение.
Окружность имеет радиус 2 и центр в начале координат. Область интегрирования показана на рисунке 4. Поскольку верхняя полуокружность описывается уравнением , то двойной интеграл вычисляется следующим образом:
     

Пример 5 Найти интеграл , заданный в области R, ограниченной прямыми .


Решение.
Область интегрирования R показана ниже на рисунке 5. Рассматривая ее как область типа II (элементарную относительно оси Ox, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:
     
Рис.5
Рис.6

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Двойные интегралы в прямоугольной области Вычислить двойной интеграл в области .

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Производная произведения. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y = (u(x)v(x)), и (u(x)v(x))' = u'(x)v(x))+ u(x)v'(x)).

Док-во. Найдём Dу. Так как u(х+Dx)= u(х)+Du, v(х+Dx)= v(х)+Dv, то

Dу= u(х+Dx)v(х+Dx)- u(х)v(х)=[u(х)+Du][v(х)+Dv]-u(x)v(x)= u(x)Dv+ v(x)Du+DuDv. . Перейдём к пределу при Dх ®0. Так как при этом Du ®0, то

.

6.5.4. Производная частного. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х, причём v(x)¹0. Тогда в этой точке имеет производную функция , и.

Док-во. Найдём Dу:  .

. Перейдём к пределу при Dх ®0. Так как при этом Dv ®0, то .

Пример 6 Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.


Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции