Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Дифференциальное исчисление функции Применение производной к исследованию функций Предел последовательности Вычислить производную функции Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Вычислить двойной интеграл коктейльные платья с длинным рукавом


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

Пример 2 Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .


Решение.
Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что
     
Рис.3
Рис.4
Заметим, что
     
Следовательно,
     
Таким образом, мы получаем
     
Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше).

Уравнение стороны можно переписать в виде
     
Найдем якобиан.
     
Следовательно, и двойной интеграл становится равным

     

   Пример 3

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 5.
Рис.5
Для упрощения области R сделаем замену переменных.
     
Образ S области R определяется следующим образом:
     
Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v.
     
Отсюда следует
     
Находим якобиан данного преобразования.
     
Соотношение между дифференциалами имеет вид
     
Теперь легко найти искомый интеграл:

     

  Пример 4 Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .


Решение.
Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.
Рис.6
Рис.7
Сделаем следующую замену переменных:
     
Цель этой замены − упростить область интегрирования R.
Найдем образ S области R в новых координатах u, v.
     
Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан.
     
так что
     
Теперь можно вычислить двойной интеграл.
     

Метод замены переменной Вычислить интеграл . Решение. Применяем подстановку . Тогда или .

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Определение производной.

 Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.

Производную обозначают разными способами. Наиболее распространённые обозначения - . Чаще мы будем применять первое из этих обозначений. Таким образом, . Операция нахождения производной называется дифференцированием.

6.1.3. Геометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции.

 Геометрический смысл производной у'(x0), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,y0=f(x0)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции |x| в точке (0,0). Чтобы в точке (x0,y0=f(x0)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. функции, графики которых имеют касательную в каждой точке), будем называть гладкими. Применяя известные формулы аналитической геометрии для прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, получаем:

уравнение касательной в точке (x0,y0=f(x0)): ;

уравнение нормали к графику функции в точке (x0,y0=f(x0)):  (при условии, что у'(x0)¹0).

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.


Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции