Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Дифференциальное исчисление функции Применение производной к исследованию функций Предел последовательности Вычислить производную функции Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Вычислить двойной интеграл


Математический анализ Вычислить интеграл

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Как и в примере 1, вычислим дифференциал  .

Числитель подынтегральной дроби  преобразуем тождественно к виду, содержащему . Исходя из преобразований, сделанных выше, получаем:

 .

Разделив почленно подынтегральную функцию, получим:

Первый интеграл это интеграл вида .

.

Для того чтобы вычислить второй интеграл, выделим полный квадрат из выражения ():

Второй инте грал теперь будет иметь следующий вид:

.

С учетом того, что , этот интеграл табличный.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.

Лекция
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Условие существования производственной сложной функции

Теорема 5. Пусть функция  имеет производную в точке x0, а функция  имеет производную в точке . Тогда сложная функция  также имеет производную при x = x0, причём

 . (24.1)

Следует обратить внимание на то, что утверждение о существовании в точке x0 производной сложной функции  содержит предположение о том, что рассматриваемая сложная функция имеет смысл, т. е. определена в некоторой окрестности точки x0.

Опуская значение аргумента и используя запись производной с помощью дифференциалов, равенство (24.1) можно переписать в виде

 .

Доказательство. Прежде всего, в силу самого определения производной, функция F определена в некоторой окрестности V(y0) точки y0, а так как из существования производной  следует непрерывность функции f, то для указанной окрестности V(y0) существует такая окрестность U(x0) точки x0, что , и, следовательно, для всех xÎU(x0) имеет смысл сложная функция .

Положим . Функция F имеет в точке y0 производную и поэтому дифференцируема в этой точке. Это означает, что её приращение Dz при всех Dy, принадлежащих некоторой окрестности точки y0, может быть представлено в виде

 ,

где e(Dy) – непрерывная в нуле функция и .

Разделив обе части последнего равенства на Dx¹0, получим

 . (24.2)

Функция   имеет производную в точке x0, т. е. существует предел

 . (24.3)

Из существования производной  следует непрерывность функции  в точке x0:

 .

При Dx = 0 имеем Dy = 0. Следовательно, приращение Dy, рассматриваемое как функция Dx, непрерывно в точке Dx=0. Поэтому, согласно правилу замены переменных в предельных соотношениях, содержащих непрерывные функции,

 . (24.4)

Теперь из (24.2), переходя к пределу при Dx®0 в силу (24.3) и (24.4), получим формулу (24.1). □

24.2. Инвариантность формы первого дифференциала функции

Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной):

 . (24.5)

В этой формуле  является дифференциалом функции, а dx – дифференциалом независимой переменной.

Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» – независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной.

Докажем это. По теореме 1 , отсюда, применив формулу (24.1) для производной сложной функции, получим , но , поэтому . □

24.3. Вычисление производных сложных функций

Пример. Пользуясь формулой (24.1), вычислить производную функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Пусть дифференцируемая функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя тождество  как сложную функцию, можно вычислить производную .

Пример. Вычислить производную функции .

24.4. Гиперболические функции и их производные

Функции  называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Справедливы формулы

 ;

 .

Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как их иногда называют, круговыми) синусом и косинусом. Для  имеется и ряд других соотношений, аналогичных соответствующим формулам для . Этим и объясняется название функций .

Частные , по аналогии с обычными синусами и косинусами, называют гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом соответственно.

Пример. Вычислить производную функций .

Лекция 25
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

25.1. Определение производных высших порядков

Пусть функция , определённая на интервале , имеет в каждой точке  производную  и пусть . Если при x = x0 у производной  функции  существует производная, то она называется второй производной (или производной второго порядка) функции f и обозначается  или .

Таким образом, . Аналогично определяется производная  любого порядка n=1, 2, ...: если существует производная  порядка n–1 (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция , а под производной первого порядка – ), то, по определению, .

Вспоминая определение производной, определение n-й производной в точке x0 можно записать в виде предела:

 

Отметим, из предположения, что функция f имеет в точке x0 производную порядка n, отсюда следует, в силу определения последней, что в некоторой
окрестности точки x0 у функции f существует производная порядка n–1, а, следовательно, при n > 1 и все производные более низкого порядка k < n–1, в частности, сама функция определена в некоторой окрестности точки x0. При этом все производные, порядок которых меньше n–1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во всех её точках они имеют производную.

Всё сказанное здесь естественным образом переносится и на так называемые односторонние производные высшего порядка.

Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 1, 2, ...).

При этом на каком-либо конце рассматриваемого промежутка в том случае, когда этот конец принадлежит промежутку, под производными, как обычно, понимаются соответствующие односторонние производные.

Для того чтобы функция была n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела на нём непрерывную производную порядка n.

Пример. Вычислить n-ю производную функций  .

25.2. Производные высших порядков суммы
и произведения функций

Теорема 6. Пусть функции  и  имеют производные n-го порядка в точке x0; тогда функции  и  имеют производные n-го порядка в точке x0, причём

 ,

 . (25.1)

Здесь, как обычно,  – число сочетаний из n элементов по k.

Формулу (25.1) обычно называют формулой Лейбница.

Доказательство теоремы 6 проводится по индукции. Мы не будем на этом останавливаться.

Следствие. Если c – постоянная, а  – функция, имеющая производную n-го порядка в точке x0, то функция  также имеет производную порядка n при x = x0, причём

 .

Доказательство следует очевидным образом из n-кратного применения формулы (23.4) к функции cy.

Пример. Выписать формулу Лейбница при n = 1, 2, 3, 4.

25.3. Производные высших порядков от сложных функций

Теорема 7. Пусть функция  имеет вторую производную в точке x0, а  – вторую производную в точке . Тогда сложная функция  имеет при x = x0 вторую производную, причём

 .

Доказательство. Поскольку существуют производные  и , существуют также  и . Следовательно, функции  и  непрерывны в точках x0 и y0 соответственно. Поэтому в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция . Дифференцируя эту функцию и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем ; дифференцируя ещё раз по x, получим

 . □

Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих предположениях, и производные высших порядков сложной функции. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение второй производной (n-й производной) функции в точке.

2. Выпишите формулу для вычисления биномиальных коэффициентов.

3. Выпишите формулу Лейбница.

4. Сформулируйте и докажите формулу для вычисления второй производной сложной функции.

Свойства пределов Найти предел .

Определение производной функции Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции

Геометрический и физический смысл производной и дифференциала Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции .

Свойства определённого интеграла.

 1. Линейность. Если функции ,  интегрируемы по отрезку , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация , и

.

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

 2. Аддитивность. Если  интегрируема по отрезку  и точка  принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если  удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам  и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка  являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и  интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

 При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

В выражении, стоящем под знаком интеграла, обозначим: , а .

По данным  и , для составления правой части формулы, вычисляем   и:

.

Составляем правую часть формулы интегрирования по частям, записывая вместо   их выражения.


Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции