Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Дифференциальное исчисление функции Применение производной к исследованию функций Предел последовательности Вычислить производную функции Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Вычислить двойной интеграл


Математический анализ Вычислить интеграл

Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, можно воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается формула трапеций.

Предел функции по Коши

Второе определение предела функции

Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Сформулируем сначала определение конечного предела в конечной точке.

Число a называется пределом функции f в точке x0Ρ, если для любого e > 0 существует такое d = d(e)>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Такую формулировку определения предела функции называют формулировкой на «языке e-d».

Бесконечные пределы в точке x0 на языке e-d определяются следующим образом: +¥ (–¥) называется пределом функции f в точке , если для любого e>0 существует такое d = d(e) > 0 , что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство  ().

Аналогичным образом определяется предел функции в бесконечно удалённых точках.

Если функция f непрерывна в точке , то определение непрерывности в символической записи имеет вид:

 .

12.2. Эквивалентность двух определений предела функции

Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.

Теорема 1. Первое и второе определения предела функции в точке прикосновения множества определения функции эквивалентны.

Доказательство. Докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел по Гейне, то она имеет тот же самый предел в этой точке и по Коши. Пусть , x0 – точка прикосновения множества X и   в смысле первого определения предела функции.

Ограничимся здесь случаем конечных x0 и a. Допустим, что предел по Коши не совпадает с пределом по Гейне, т. е.

 . (12.1)

Возьмём . Выберем в каждой такой d-окрестности точки x0 элемент xn. Тогда, по построению, имеем последовательность . При этом, в силу (4), все элементы последовательности  лежат вне
e-окрестности точки a.

С другой стороны, поскольку  в смысле первого определения, то для любой последовательности  имеет место равенство . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a, в частности и для выбранной выше e-окрестности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N имеет место .

Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение. □

Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле второго определения, то она имеет в этой точке тот же самый предел и в смысле первого определения. Пусть  в смысле предела функции по Коши, , x0 – предельная точка множества X, и пусть . Покажем, что тогда , т. е. точка a является пределом функции f и в смысле определения предела функции по Гейне.

Зададим произвольную e-окрестность точки a. Тогда, по условию теоремы,

 . (12.2)

Для этой d-окрестности найдётся такой номер N, что для всех номеров n>N будет выполняться условие . Но тогда, в силу (5), имеем . Это и означает, что .

Если же x0 – изолированная точка множества X, то функция f непрерывна в этой точке (почему?) и имеет место равенство . □

12.3. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность

При изучении функций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы их сужений на множествах, лежащих по одну сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие пределы называются односторонними пределами. Это понятие содержательно лишь тогда, когда действительно существуют указанные множества как с одной, так и с другой стороны от точки x0, в которой рассматривается предел. В том случае, если точка x0 является одной из бесконечностей ¥, +¥ или –¥, это заведомо невозможно. Поэтому в настоящем пункте в дальнейшем будем всегда предполагать, что x0 – действительное число: x0Ρ.

Пусть   и x0Ρ. Точка a называется пределом функции f слева (справа) при x®x0, если

 .

Для пределов слева и справа функции f по множеству Х\{х0} имеются специальные обозначения:  – предел слева,  – предел справа. Пределы слева и справа называются односторонними пределами.

Пример. Вычислить односторонние пределы функции  по проколотой окрестности точки x0 = 0.

Понятие предела слева (справа) при x®x0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка x0 является точкой прикосновения множества, по которому берётся предел.

Рассмотрим взаимосвязь между существованием предела функции в точке и существованием односторонних пределов функции в этой точке.

Теорема 2. Пусть функция  и x0 – точка прикосновения множества X. Тогда функция f имеет предел в точке x0, в том и только том случае, когда в этой точке у функции f существуют пределы как слева, так и справа, и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке x0.

Доказательство. В самом деле, пусть у функции f существует предел (по множеству X) в точке x0. Но тогда в этой точке тот же предел существует и у её сужения по любому множеству (см. лемму 1), т. е. существуют оба односторонних предела при x®x0 и они равны a:

 . (12.3)

Пусть, наоборот, в точке x0 выполняется условие (12.3). Это значит, что

 ,

 .

Выберем d = min(d1, d2). Все значения функции f из проколотой
d-окрестности точки x0 попадают в e-окрестность точки a, т. е. . □

Если один из односторонних пределов функции в некоторой точке совпадает со значением функции в этой точке, то такая функция называется односторонне непрерывной в рассматриваемой точке.


СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций.

Свойство 1. Если предел функции  в точке x0 существует, то он единственен.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. у функции   в точке x0 существуют два различных предела a1 и a2. Это означает, что для любой последовательности  имеют место равенства  и .

Выберем e-окрестности точек a1 и a2 так, чтобы они не пересекались. Тогда для последовательности xn найдутся такие номера N1 и N2, начиная с которых все элементы последовательности  принадлежат e-окрестностям точек a1 и a2 соответственно. Выбирая N=max(N1, N2), получаем, что при n>N все элементы последовательности  принадлежат одновременно e-окрестностям обеих точек, что невозможно. □

Свойство 2. Если функция  имеет в точке x0 конечный предел, то существует такая проколотая окрестность точки x0, что функция f ограничена на пересечении этой окрестности с множеством определения X функции f.

Доказательство. Пусть  – конечный предел. Тогда, согласно определению предела функции по Коши, для любого e>0 существует такое d = d(e)>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство . В частности, можно подобрать d так, чтобы выполнялось неравенство . Отсюда и следует ограниченность функции f на указанном множестве. □

Свойство 3. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).

Доказательство. Возьмём число c такое, что a < c < b. По определению предела найдутся проколотые окрестности точки x0, на пересечении которых с множеством X имеют место неравенства . Выбирая наименьшую из этих окрестностей, имеем:

  . □

Свойство 4. Пусть . Тогда, если f(x) > g(x), то
a ³ b; если f(x) ³ g(x), то a ³ b.

Свойство 4 выводится из свойства 3 методом от противного.

Свойство 5. Если , и существуют конечные или определённого знака бесконечные пределы , то .

Свойство 6. Если существуют пределы функций , то справедливы формулы:

 ,

 ,

 .

Последняя из формул справедлива в предположении, что b ¹ 0.

Свойства 5–6 могут быть доказаны одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей.

Пример. Доказать, что  (первый замечательный предел).

Пример: найти все значения . Число  в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой   при . Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее , имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , образуя правильный пятиугольник.

9.2. Многочлены -ой степени.

 9.2.1. Многочлены с комплексными коэффициентами от комплексной переменной. Многочленом -ой степени называется функция  где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты многочлена), ,  - комплексная переменная. Число , в котором многочлен принимает нулевое значение (), называется корнем многочлена.

 Справедлива следующая теорема, которая называется основной теоремой алгебры: любой многочлен степени  имеет комплексный корень.

Пусть   - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням  (как мы делали это в разделе 7.7.1. Формула Тейлора для многочленов):

. Здесь  - новые значения коэффициентов, получающиеся после раскрытия степеней и приведения подобных членов. Очевидно, , отсюда следует утверждение: для того, чтобы число  было корнем многочлена , необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении  по степеням  был равен нулю: . Но тогда

.

  Таким образом, доказана теорема Безу: для того, чтобы многочлен -ой степени  имел комплексный корень , необходимо и достаточно, чтобы он без остатка делился на , т.е. чтобы  представлялся в виде , где  - многочлен -1-ой степени.

 Пусть  - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число  не является корнем многочлена , в этом случае  называется простым корнем многочлена . 2. Число  является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к  те же рассуждения, придём к выводу: если  - корень многочлена , то  единственным образом представляется в виде , где . Число  в этом случае называется кратностью корня .

 Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен  при  имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному,   представляется в виде , где . Если , то многочлен  имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен  степени  

при старшем коэффициенте  единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где  - (попарно различные) корни многочлена,  - их кратности,- количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ

 КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Первый интеграл является табличным: .

Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

Получим следующую запись .

Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.


Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции