Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Дифференциальное исчисление функции Применение производной к исследованию функций Предел последовательности Вычислить производную функции Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Вычислить двойной интеграл


Математический анализ

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

Дифференциальное исчисление функции одной перменной

Производная

Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответ­ственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Оче­видно, что х = х0+Dх, у = у0+Dу, = f(x0+Dx)-f(x0). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом и являются пе­ременными величинами.

Производной функции у = f(x) в точке х0 называется если этот предел существует. Производная обозначается у'(x0) или f'(x0). Таким образом, .

Пусть Х = {х}-множество всех таких х, для которых существует y'(х). Очевидно, что (х) является функцией, определенной на множестве Х.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b).

Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f(х0)) равен у'(х0).

Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: V = S'(t).

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение ¹ 0. Ему соответствует некоторое приращение функции . Вычислим предел:

а это и означает непрерывность функции в точке х0.

Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут слу­жить функции у = çх çи в точке х = 0. В обоих случаях (0) не существует.

Заметим, что график у = çх çв точке х = 0 не имеет касательной, а график в точке х=0 имеет вертикальную касательную – ось Оу.

Можно показать, что для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы ее график имел невертикаль­ную касательную в точке (х0, f(х0)).

п. 2. Вычисление производной

Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:

1.      С' = 0, где С – константа.

2.      n) ' = n×xn-1, где n – натуральное число

3.      (ax)'= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)' = ех

4.      , где а>0, a ¹ 1. В частности,

5.      (sinx)' = cosx

6.      (cosx)' = -sinx

В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v, . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем

(u+v)' = u'+v'

(u×v)' = u'v+uv'

Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)' = cu', где с – константа, и (u-v)' = u'-v'

Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы:   и , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0.

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем

  или

Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f--1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда .

Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале   монотонной и дифференцируе­мой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом .

Аналогично получаются формулы

Пусть y = f(u) и u = g(x). Тогда функция y = f(g(x)) называется сложной функ­цией от х.

Теорема 1. Если функция u=g(x) имеет производную u'x в точке х, а функ­ция y = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u, то сложная функция y = f(g(x)) в точке х имеет производную у'x, причем у'x = у'u× u'x.

Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответст­венно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх®0 не принимает зна­чений, равных нулю. Тогда . Так как функция u = g(x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu®0 при Δх®0. Поэтому . Тогда . Это означает, что у'x = у'u× u'x.

Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх®0 Δu принимает значения, равные нулю.

Примеры. Найти производную функции.

1.      у = lnarctgx

 .

2. y = cos3(x2)

y' = 3cos2(x2)(-sin(x2))2x = -6xsin(x2)cos2(x2)

3.

.

 

Производные гиперболических функций

, поэтому

Аналогично: (chx)' = shx.

Аналогично:

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716). Дальнейшее развитие математический анализ получил в работах таких известных математиков, как Я. Бернулли (1654–1705), И. Бернулли (1667–1748), Б. Тейлор (1685–1731), Л. Эйлер (1707–1783), Ж. Лагранж (1736–1813), Ж. Фурье (1768–1830), О. Коши (1789–1857), К. Якоби (1804–1851), К. Вейерштрасс (1815–1897), Б. Риман (1826–1866), М. Жордан (1838–1922), Г. Кантор (1845–1918) и многих других. Классическая часть современного математического анализа окончательно сформировалась к началу XX столетия. Эта часть анализа преподаётся на первых двух курсах университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех технических вузов у нас в стране и за рубежом.

Пределы и непрерывность функции

Теоремы о пределах Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём .

Производная степенной функции с любым действительным показателем Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Примеры.    Найти у''' для функции y = cos2x.

Непрерывность элементарных функций.

 Цель этого раздела - доказать факт, которым мы уже пользовались: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х ( для "e>0 возьмём d = e, тогда если | х- х0|<d, то | f(х)- f(х0)| = | х- х0|<e=d).

Функция y(х)= х2 = х х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

По индукции функция y(х)= хn = хn-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= аnхn, где аn=C=const.

Рациональная функция  непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций.

5.3.2. Непрерывность дробно-рациональных функций:  непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

Непрерывность показательной функции . Требуется доказать, что . Рассмотрим разность (формула 6 табл.4.4.10)  . Эта разность - БМ функция при х® х0, следовательно, ах®  при при х® х0.

  Непрерывность логарифмической функции . По формуле 7 табл.4.4.10 эквивалентных БМ ~

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода.
Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции