Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной.

Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье функции:  


Решение.
Здесь L = 1. Следовательно, можно записать
     
Вычислим коэффициенты an:
     
Определим теперь ы bn:
     
В результате получаем следующее выражение для ряда Фурье (рисунок 2):

     

   Пример 3 Найти разложение в ряд Фурье трапециевидной волны, заданной функцией

     

Решение.
В данном случае, очевидно, L = 3/2. Вычислим коэффициенты разложения a0 и an.
     
Так как , то получаем
     
Коэффициенты bn равны нулю, поскольку функция четная на заданном интервале [0,3]. Тогда разложение в ряд Фурье выражается формулой
     
График данной функции и аппроксимации Фурье при n = 1 и n = 3 показаны на рисунке 3.
Рис.3, n = 1, n = 3

 

Пример 4 Найти разложение в ряд Фурье функции .


Решение.
Данная функция − четная и имеет период π (L = π/2). Поэтому bn = 0. Определим коэффициенты a0 и an.
     
Однако полученный результат справедлив лишь при n ≥ 2. Поэтому рассчитаем a1 отдельно.
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье функции имеет вид
     
Полученное выражение является хорошо известным тригонометрическим тождеством.

Формула Грина Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина
где символ указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.

Если , то формула Грина принимает вид
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.

Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля.

Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равный
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.

Пример 1 Используя формулу Грина, вычислить интеграл , где кривая C − окружность радиуса R.


Решение.
Запишем компоненты векторного поля:
     
С помощью формулы Грина
     
преобразуем криволинейный интеграл в двойной:
     
Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:

     

Бесконечные ряды

Определения
Пусть задана числовая последовательность {an}. Тогда бесконечная сумма
называется бесконечным рядом или просто рядом. Частичные суммы ряда определяются формулой
где Sn называется n-частичной суммой ряда. Если частичные суммы {Sn} сходятся к L при n → ∞, то говорят, что бесконечный ряд сходится к L:
В противном случае ряд расходится.
Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд сходится, то .
Внимание! Обратное утверждение неверно. Сходимость общего члена an к нулю не означает, что ряд
сходится. Например, гармонический ряд расходится, хотя .

Соответственно, если или этот предел не существует, то ряд расходится (достаточное условие расходимости ряда).
Свойства сходящихся рядов
Предположим, что и являются сходящимися рядами, а c − действительным числом. Тогда справедливы следующие линейные свойства:

Показать, что гармонический ряд расходится.

Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.

Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Найти ряд Маклорена для функции .

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье