Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной.

Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале [−1, 1].
Решение.

Здесь полупериод равен L = 1. Поэтому c0 равен
     
Для n ≠ 0 получаем
     
Дважды интегрируя по частям, находим
     
Подставляя sin nπ = 0 и cos nπ = (−1)n, получаем компактное выражение для коэффициентов cn:
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
     
Учитывая, что , можно окончательно записать
     

График данной функции и ее аппроксимации Фурье приведены ни рисунке 2 (выше).

   Пример 3 Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

     

Решение.
Применим формулы
     
В результате функция принимает вид
     
Разложим последнее выражение на сумму простых рациональных дробей.
     
Определим коэффициенты A,B:
     
В результате функцию f (x) можно записать в виде
     
При этом
     
И такой же результат справедлив для сопряженного выражения:
     
Представляя дроби в виде степенных рядов, получаем
     
Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
     
Поскольку , то окончательный ответ будет

     

   Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Разложение в ряд Фурье в интервале [−L, L]
Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию
определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид
Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами
Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая , получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x):
где
Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]
Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой
где , а коэффициенты вычисляются следующим образом:
Четные и нечетные функции
Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [− L, L], имеет вид
где
Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [− L, L], выражается формулой
где коэффициенты Фурье равны

  Пример 1 Найти разложение в ряд Фурье функции

     

Решение.
Определим коэффициенты разложения:
     
Можно заметить, что для четных n = 2k, k = 1, 2, 3, ...
     
Для нечетных n = 2k − 1, k = 1, 2, 3, ...
     
Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид (рисунок 1)
     
Рис.1, A = 2, L = 2, n = 2, n = 10
Рис.2, n = 5, n = 10

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье