Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Найти разложение в ряд Фурье функции


Математический анализ Вычислить интеграл

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной.

  Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим
     
Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2

, то исходный ряд также сходится.

  Пример 2 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что для всех натуральных n. Ряд является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1

и, следовательно, сходится.

Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

Пример 3 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Можно заметить, что для всех натуральных n. Тогда
     
Поскольку − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

Пример 4 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Тогда
     
Разделим числитель и знаменатель на n3:
     
Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

  Пример 5 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом . Получаем
     

Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

   Пример 6 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Применяем предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:
     
Таким образом, исходный ряд расходится.

Пример 7 Определить, сходится или расходится ряд

     
Решение.
Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Находим значение предела:
     

Следовательно, ряд сходится.

Комплексная форма рядов Фурье

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:
Мы использовали здесь следующие обозначения:
Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами
Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид:
где

Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.

Пример 1 Используя комплексную форму записи, найти разложение в ряд Фурье функции

     

Решение.
Вычислим коэффициенты c0 и cn (при n ≠ 0):
     
Если n = 2k, то .
Если n = 2k − 1, то .
Следовательно, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:
     
Данный ряд можно преобразовать и записать в действительных переменных. Обозначим: . Тогда
     
График функции и ее ряд Фурье при n = 5 и n = 50 показаны на рисунке 1.
Рис.1, n = 5, n = 50
Рис.2, n = 2, n = 5

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье