Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Дифференциальное исчисление функции Применение производной к исследованию функций Предел последовательности Вычислить производную функции Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Вычислить двойной интеграл


Математический анализ

Исследуем подынтегральную функцию исходного интеграла; если особенностей у исходного интеграла больше, чем одна, то разбиваем промежуток интегрирования так, чтобы на каждом участке интегрирования было по одной особенности. 2). Пытаемся упростить выражение подынтегральной функции с помощью эквивалентных преобразований при стремлении переменной к особой точке;

Элементы линейной алгебры

Определители

Определители второго порядка

Определение. Выражение

называется определителем 2-го порядка.

Числа – это элементы определителя. Определитель 2-го порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, элемент стоит в первой строке и втором столбце определителя.

Элементы называют элементами главной диагонали определителя, а другие два элемента – соответственно элементами побочной диагонали.

Пример 1. Вычислим определитель

.

Определители 3-го порядка

Определение. Выражение

(1. 1)

называется определителем 3-го порядка.

Пример 2. Вычислить определитель:

.

Решение. По определению получим:

Если в формуле (1.1) раскрыть определители 2-го порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то имеем:

(1.2)

Элементы со знаком плюс и со знаком минус выбираются из определителя, как показано на рисунке:

Этот способ вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольника.

Пример 3. Вычислить определитель:

по правилу треугольника.

Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя, затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника. Элементы, входящие в формулу (1.2) со знаком минус строим аналогично, но относительно побочной диагонали.

Замечание. Если применить правило треугольника к определителю треугольного вида

,

то этот определитель будет равен произведению элементов главной диагонали, то есть .

Определение. Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента , стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца определителя, обозначают М ij.

Например, для определителя

(1.3)

миноры:

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.

Алгебраическое дополнение элемента обозначают . Согласно определению:

Для определителя 3-го порядка знаки алгебраических дополнений определяются по таблице:

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Например, алгебраическое дополнение элемента определителя (1.3) равно минору этого элемента, взятому со знаком минус:

.

Из определения определителя 3-го порядка вытекает, что

.

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Таким образом, имеет место шесть разложений:

(1.4)

Можно доказать, что сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

Пример 4. Вычислить определитель

,

разлагая его по элементам второй строки.

Решение. Согласно теореме разложения имеем:

.

Свойства определителей

Формулируя свойства, мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка, но доказательства свойств проведём для определителей 3-го порядка.

1.Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть

. (1.5)

Действительно, разложим определитель слева по элементам первой строки, а определитель справа по элементам первого столбца. Тогда в обоих случаях согласно теореме разложения получим , что и доказывает неизменность определителя.

Замечание. Определитель в правой части формулы (1.5) называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы.

2.Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак.

Пусть в определителе

,

например, переставлены первая и вторая строки. Тогда получим определитель

.

Разложим определитель по элементам второй строки с учётом знаков, приписываемых алгебраическим дополнениям:

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Так как знаки миноров элементов второй строки противоположны знакам миноров элементов первой строки, то

.

Следствие. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе

.

переставить первую и вторую строки с одинаковыми элементами, то с одной стороны определитель не изменится, а с другой стороны – он поменяет знак, то есть , откуда .

3.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

Пусть дан определитель

.

Разложим его по элементам первой строки. Тогда он будет равен:

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем

.

4.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:

,

так как в первых скобках записано разложение по первой строке определителя с элементами , а во вторых – разложение определителя с элементами .

5.Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.

Для доказательства этого рассмотрим определитель

.

Составим определитель, полученный из данного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.

по свойству 4. Далее по свойству 3 и следствию 2 к нему получим

Пример 5. Вычислить определитель

, используя свойства определителей.

Решение.

, так как у первого определителя, стоящего в скобках, первая и последняя строки равны, а у второго – вторая и последняя строки пропорциональны.

Пример 6. Решить уравнение

.

Решение. Снова преобразуем определитель, используя свойство 4.

Равенство нулю исходного определителя справедливо при любых значениях x, так как у первого определителя две строки равны, а у второго- пропорциональны.

Таким образом, .

 Теор.7.4. Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке [a,b]; 2. имеют производные f '(x) и g'(х) на интервале (a,b); 3. g'(х) ¹ 0 на интервале (a,b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Отметим предварительно, что g(b) ¹ g(a) (иначе по теореме Ролля нашлась бы точка сÎ(a,b), в которой g '(с) = 0, что противоречит условию теоремы), так что дробь в правой части формулы Коши имеет смысл. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля (проверить!), поэтому $ сÎ(a,b), в которой F '(с) = 0. , поэтому в точке с , т.е. , что и требовалось доказать.

 Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

7.5. Теоремы Лопиталя.

 Теор.7.5 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке 

[a, b]; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и .

 Док-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [a, х] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка сÎ(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим, что и требовалось доказать.

 Распространим доказанную теорему на случай :

Определители 4-го порядка. Методы их вычисления

Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn

Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.
Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции