Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач


Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B·i можно считать записью комплексного числа в общем виде.

Степень с произвольным показателем

Пример

Упростите выражения 1) 2)

Показать решение

1)

2)

Ответ. 1) 2) x  –  y .

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень. Непрерывные функции

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения a x и для любого действительного числа x ? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи a α, где α − иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a  = 1, a  > 1, 0 <  a  < 1.

  1. Если a  = 1, то по определению полагают, что 1 α = 1.
  2. Если a  > 1, то выберем любое рациональное число r 1  < α и любое рациональное число r 2  > α. Тогда, очевидно, r 1  <  r 2 и, следовательно:

    Но и потому (так как a > 1) и, наконец,

    Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a  > 1 и любого иррационального α.
  3. Если 0 <  a  < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 <  a  < 1 и любого иррационального α.
Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.
Одночлены и многочлены