Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Линейные уравнения


Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

События и вероятности

Пример 

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. (Пример взят из книги Г. Секея «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике».) Тогда события A ,  B ,  C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A  и  B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A  и  C (а также B  и  C ) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p  ( AC ) = 1/4 =  p ( A )  p ( C ), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Теперь, ознакомившись с языком теории вероятностей, мы можем дать более строгое определение вероятности и выписать основные её свойства.

Вероятностью события p ( A ) называется некоторая действительная функция, определённая на классе возможных событий E и удовлетворяющая следующим трём аксиомам, сформулированным А. Н. Колмогоровым.

  1. Аксиома неотрицательности . Для любого A  из  E вероятность p  ( A ) ≥ 0.
  2. Аксиома нормированности . Вероятность достоверного события p  ( I ) = 1.
  3. Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания
  4. Аксиома аддитивности . Для любой (конечной или бесконечной) последовательности попарно несовместных событий A ,  B ,  C … вероятность их суммы p  ( A  +  B  +  C  + …) =  p  ( A ) +  p  ( B ) +  p  ( C ) + …

Из перечисленных аксиом можно вывести следующие свойства вероятностей.

  • Для любого A  из  E верно: 1 ≥  p  ( A ) ≥ 0. В частности, вероятность невозможного события p  ( O ) = 0.
  • Если событие A влечёт за собой событие B , то p ( A ) <   p ( B ).
  • Вероятность события A и вероятность противоположного события связаны соотношением
  • p  ( A  +  B ) =  p  ( A ) +  p  ( B ) –  p  ( AB ). Для несовместных событий p  ( A  +  B ) =  p  ( A ) +  p  ( B ).
  • p  ( AB ) =  p  ( B  |  A ) ·  p  ( A ).Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
    Понятие множества