Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Линейные уравнения


Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Сравнение и отображение множеств

Пример

Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу:

1 2 3... n ... ↕ ↕ ↕ ↕ 1 3 5... 2 n – 1...

Так как множество нечётных чисел является подмножеством натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.

Пример 3 Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Множество положительных рациональных чисел счётно. Действительно, если представить каждое рациональное число в виде несократимой дроби и записать его в следующую таблицу, а затем пронумеровать, как указано на рисунке, то окажется, что множество рациональных положительных чисел действительно счётно.

1
Рисунок 4.1.2.1.
Пример 4

Любой отрезок [ a ;  b ] равномощен отрезку [0; 1]. Взаимно однозначное соответствие между ними устанавливает формула y  = ( b  −  a ) ·  x  +  a , где x    [0; 1],  y    [ a ;  b ].

Пример 5

Множества и счётны и потому равномощны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие между ними по следующему правилу:

A ... ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ N 1 2 3... n ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ B 0 ... ...

Существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность счётных множеств. Так, множество всех точек отрезка [0; 1] не равномощно множеству натуральных чисел доказательство этой теоремы принадлежит немецкому математику Георгу Кантору.

Как было показано в примере 4, множество всех точек отрезка [0; 1] равномощно множеству точек отрезка любой длины. Легко показать равномощность множеств отрезка [ a ;  b ] и интервала ( a ;  b ), а также отрезка [ a ;  b ] и луча ( a ; +∞). Наконец, можно доказать равномощность множеств всех точек отрезка и квадрата.

Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же, множества всех точек числовой оси) обозначается символом c (« континуум »). Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א <  c .

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2 c и называется гиперконтинуумом

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Понятие множества