Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач Линейные уравнения


Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Система линейных уравнений

Если поставлена задача найти такие числа которые удовлетворяли бы сразу всем n уравнениям и обращали бы их в верные числовые равенства, то говорят, что задана система из n уравнений с n неизвестными . В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

Наиболее распространённым методом решения этих систем является метод последовательного исключения неизвестных ( метод Гаусса ), который для линейных функций может быть представлен в виде алгоритма, являющегося наиболее общим.

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений

  1. Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.
  2. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.
  3. С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.
  4. Когда получено значение последнего неизвестного x n , подставляем его в уравнение, которое позволяет найти x n – 1 по x n .
  5. По найденным x n – 1 и x n находим x n – 2 и таким образом находим последовательно все неизвестные.

Для систем нелинейных уравнений этот метод не всегда применим уже в силу того, что из уравнений системы совсем не обязательно можно будет выразить одну неизвестную через остальные.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Понятие множества