Элементы линейного программирования Параметрическое линейное программирование

Высшая математика в экономике

Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации

Рассмотрим следующую задачу.

Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы данного вида приведены в табл 25.1. В ней указаны такие запасы сырья каждого вида, которые могут быть использованы на производство единицы продукции данного вида. Известно, что цена единицы продукции может изменяться для изделия А от 2 до 12 усл. ед., а для изделия В — от 13 до 3 усл. ед., причем эти изменения определяются выражениями 2 + λ и 13 — λ, где 0 ≤ λ ≤ 10.

Для каждого из возможных значений цены единицы продукции данного вида найти такой план их производства, при котором общая стоимость продукции является максимальной.

Решение. Обозначим через х1 количество единиц продукции А, через x2 — количество единиц продукции В. Математическая модель задачи имеет вид

при ограничениях:

Область допустимых решений — многоугольник OABCD (рис. 25.2). Полагая λ = 0, L() = 2x1 + 13х2 строим (2, 13). Перемещая линию уровня по направлению , находим, что в точке А(0, 11) задача имеет оптимальное решение. Таким образом, при λ = 0 1опт(0, 11), L(1)max = 143.

Если уравнение прямой имеет вид

то угловой коэффициент равен k = - А/В.

Угловой коэффициент линии уровня, перпендикулярной , при произвольном значении λ равен k = (2 + λ) / (13 – λ).

Найдем область оптимальности 1опт : 1опт будет оставаться оптимальным для всех λ, при которых соответствующая линия уровня находится внутри угла, образованного прямыми x1 = 0 и (25.2). Угловой коэффициент прямой (25.2) k = - 2/2 = -1. По условию λ1 = 0, λ2 = (2 + λ) / (13 - λ) = -1, откуда λ2 = 11/2. Решение 1опт остается оптимальным при λ  [0, 11/2].

При λ = 11/2 линия уровня совпадает с прямой (25.2) и оптимальными будут все точки, лежащие на прямой (25.2), в том числе и точка В(1, 10), лежащая на пересечении прямых (25.2) и (25.3).

Оптимальное решение будет сохраняться до тех пор, пока при изменении λ линия уровня не совпадет с прямой (25.3), что будет соответствовать новому оптимальному решению 2опт. Найдем новый диапазон изменения λ: λ1 = 11/2, λ2 = (- 2 + λ) / (13 - λ) = -2, так как k3 = -2. Откуда λ2 = 8.

Получили при λ  [11/2, 8] 2опт = (1, 10), L(2)max = 132 – 9λ.

Аналогично определяем, что при λ  [8,10], 3опт = (2, 8), L(3)mах = 108 – 6λ.

Таким образом, при λ = [0, 11/2] необходимо производить только 11 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (143 – 11λ) усл. ед.; при λ  [11/2, 8] необходимо производить одно изделие А и 10 изделий В, при этом стоимость продукции является максимальной и равной (132 – 9λ) усл. ед.; при λ  [8, 10] необходимо производить 2 изделия А и 8 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (108 – 6λ) усл. ед.

Найдем решение этой же задачи симплексным методом (табл. 25.2-25.4), для чего приведем задачу к каноническому виду:

при ограничениях:

Получим λ1 = - , так как все Δ”j ≤ 0;

Таким образом, λ  [0, 11/2], 1опт = (0, 11, 5, 0, 3), L(1)max = 143 – 11λ.

Получим

Таким образом, λ  [11/2, 8], 2опт = (1, 10, 2, 0, 0), L(2)mах = 132 – 9λ.

Получим

Таким образом, λ  [8, 10], 3опт = (2, 8, 0, 2, 0), L(3)mах = 108 – 6λ.

Получили следующие оптимальные решения в зависимости от диапазона изменения λ:

Теорема Тейлора. Формула Тейлора.

Формула Тейлора.

Тейлор (1685-1731) – английский математик

 Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа

Свойства бесконечно малых функций.

Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.


Элементы системы массового обслуживания