Математика лекции задачи Лекции по электротехнике Теория машин и механизмов Машиностроительное черчение Современные интерьеры архитектура дизайн История искусства Информатика Физика решение задач

Система осей Колонный зал Дома Союзов в Москве пространства Капелла Роншан Вселенский собор Успенский собор Тектонические представления Монументальная  живопись сила эмоционального воздействия Архитектура — особый вид искусства

Последовательное и параллельное соединения. Эквивалентные параметры

Общие основы электротехники начало

Последовательное и параллельное соединения. Эквивалентные параметры

Электрические цепи переменного тока Символический метод расчета

Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами , то этот метод носит название символического.

Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:

Последняя операция не является обязательной, т.к. некоторые величины (амплитудные и действующие значения токов и напряжений, активные и реактивные составляющие и т.п.) не изменяются при обратном преобразовании.


Рассмотрим применение этого метода на примере цепи, изображенной на рис. 1 а).

 

Символический метод расчета

Обозначим стрелками направления токов принятые за положительные. Тогда во временной области для этой цепи можно составить уравнения Кирхгофа в виде

Символический метод расчета

(1)

Если в выражениях (1) заменить токи и ЭДС синусоидальными функциями времени, то решить эту систему уравнений будет весьма затруднительно.

Перейдем к изображениям параметров исходной схемы комплексными числами в виде: Z1 = jw L1; Z21 = R1; Z22 = -j/(wC); Z3 = R2; Z41 = R3; Z42 = jw L2; Z1 = R4 . Этим параметрам соответствует схема замещения рис. 1 б). Вторая и четвертая ветви этой схемы имеют по два элемента. Их можно преобразовать как последовательное соединение к виду Z2 = R1-j/(wC) и Z4 = R3+jw L2, но соединения R1-C и R3-L2 можно сразу представить одним комплексным числом, в котором вещественная часть соответствует резистивному сопротивлению, а реактивная - емкостному и индуктивному. В результате схема замещения будет такой, как показано на рис. 1 в).

Переход от оригиналов к изображениям является линейной операцией, поэтому все законы справедливые для области оригиналов будут справедливы и для изображений. Кроме того, в области изображений отсутствует параметр времени и все величины являются константами, аналогично цепям постоянного тока. Поэтому формально в расчетах по схеме замещения можно применять не только основные законы электрических цепей, такие как законы Ома и Кирхгофа, но и все производные от них методы, т.е. метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения, эквивалентного генератора и др.

Для символической схемы замещения можно составить уравнения Кирхгофа в виде

Символический метод расчета

(2)

Из этой системы уравнений можно найти, например, токи, представив ее в удобной для машинного анализа матричной форме записи

Символический метод расчета

(3)

или в развернутой форме

Символический метод расчета

(4)

Отсюда можно найти комплексные токи во всех ветвях, если известны параметры цепи и ЭДС источника. Пусть, например, e = 100sin(1000t-27° ) В; R1 = 20 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 30 Ом; R4 = 25 Ом; L1 = 10 мГн; L2 = 50 мГн; C = 50 мкФ. Тогда комплексные сопротивления и ЭДС будут Z1 = j10 Ом; Z2 = 20-j20 Ом; Z3 = 15 Ом; Z4 = 30+j50 Ом; Z5 = 25 Ом; Em = 100e-j27°.

После решения системы уравнений (2) получим: I1m = 5.96e-j40.4°А; I2m = 3.67e-j16°А; I3m = 3.03e-j70.5°А; I4m = 1.02e-j112.7°А; I5m = 2.38e-j53.7°А. В этих выражениях определены амплитуды и начальные фазы всех токов. Делением модулей токов на можно найти их действующие значения, а если требуется, то можно представить и синусоидальными функциями времени в виде: i1 = 4.67sin(1000t - 67.4° ) А; i2 = 2.87sin(1000t - 43° ) А; i3 = 2.37sin(1000t - 97° ) А; i4 = 0.8sin(1000t - 139° ) А; i5 = 1.86sin(1000t - 80° ) А


Символический метод расчета

Найдем теперь падение напряжения между узлами a и c цепи рис. 1 а), пользуясь эквивалентными преобразованиями и законом Ома. Схема замещения этой цепи приведена на рис. 1 в) и 2 а). Поэтапно преобразуя цепь Z4ÙZ5ÞZ45=Z4 Z5/( Z4+ Z5)=18.7+j5.65 Ом; Z45ÙZ3ÞZ345= Z45+ Z3=33.7+j5.65 Ом; Z345ÙZ2ÞZ2345= Z345 Z2/( Z345+ Z2)=16.3-j6.1 Ом(рис. 2 б)-г)), перейдем к цепи, представляющей собой один контур с последовательным соединением Z1-Z2345-E.

Ток в контуре рис. 2 г) равен I1m = Em/(Z1+Z2345)=100e-j27°/(16.3+j3.9) =5.96e-j40.4°А. Как и следовало ожидать, ток I1m получился равным току рассчитанному по законам Кирхгофа. Отсюда искомая разность потенциалов Uacm= I1m Z2345=103.8e-j61° или в области оригиналов uac = 103.8sin(1000t - 61° ) В.

Следует обратить внимание на то, что в исследуемой цепи амплитуда падения напряжения между узлами a и c превышает амплитуду источника ЭДС. Объяснение этому явлению дано в анализе внешних характеристик источников питания переменного тока.

 

Последовательное и параллельное соединения. Эквивалентные параметры

Общие основы электротехники начало

Последовательное и параллельное соединения. Эквивалентные параметры

Решение задач по физике, электротехнике, математике, информатике История искусства